Pembelajaran matematika, yang dirumuskan oleh National Council of Teachers of Matematics atau NCTM (2000) menggariskan, bahwa siswa harus mempelajari matematika melalui pemahaman dan aktif membangun pengetahuan baru dari pengalaman dan pengetahuan yang dimiliki sebelumnya. Dan standar Matematika Sekolah menurut versi NCTM meliputi : Data dan Peluang, Measurent, Algebra, Geometry dan Bilangan.
Tujuan pembelajaran Matematika dalam kurikulum di Indonesia menyiratkan dengan jelas tujuan yang ingin dicapai yaitu:
(1) Kemampuan pemecahan masalah (problem solving);
(2) Kemampuan berargumentasi(reasonning);
(3) Kemampuan berkomunikasi(communication);
(4) Kemampuan membuat koneksi (connection) dan
(5) Kemampuan representasi (representation).
Standar Isi tentang Bilangan menurut NCTM adalah sebagai berikut :
1. Memahami pengertian bilangan, cara menyajikan bilangan, hubungan antara bilangan-bilangan dan sistem bilangan.
Contoh : Siswa dapat membaca, membedakan dan menggunakan bilangan,dst.
2. Memahami pengertian operasi dan bagaimana hubungan antar operasi yang satu dengan operasi yang lain.
Contoh : Siswa dapat melakukan operasi penjumlahan, perkalian dan dapat menyatakan hubungan kedua operasi tersebut, dst.
3. Dapat menghitung dengan lancar dan terampil serta dapat membuat perkiraan/taksiran secara rasional/masuk akal.
Contoh : Siswa dapat menghitung dengan lancar dan memutuskan perhitungan tersebut harus tertulis, secara mental, dengan alat bantu (misal:kalkulator), atau dengan taksiran, dst.
Pada penulisan tugas ke-2 ini akan dibatasi hanya pada topik tentang standar Bilangan dan Aljabar menurut persepsi penulis. Bilangan dan Aljabar merupakan dua bidang dalam Matematika yang keduanya berkaitan. Namun demikian, pembahasan akan terbagi 2 (dua), yaitu yang pertama akan dibahas seputar tentang Bilangan, dan yang kedua akan dibicarakan tentang Aljabar.
I. BILANGAN
1. Perbedaan angka dan bilangan.
Angka adalah salah satu dari sekian banyak lambang atau simbol untuk melambangkan atau menyimbolkan dari suatu bilangan. Sedangkan bilangan adalah gagasan, konsep atau ide abstrak yang tak bisa tertangkap oleh indera manusia tetapi bersifat universal.
Contoh :
Simbol yang ditulis dengan 2 adalah angka dua, yang melambangkan atau salah satu simbol dari suatu bilangan 2. Bilangan 2 dapat juga dilambangkan atau disimbolkan dengan lambang/simbol lain, misalnya II atau // atau ** atau ♥♥, dan sebagainya.
Dengan demikian angka dan bilangan adalah dua hal yang berbeda tetapi berkaitan. Angka digunakan untuk melambangkan bilangan yang merupakan suatu entitas abstrak dalam Matematika.
2. Bagaimana dengan pengertian nomor ?
Kata nomor biasanya menunjuk satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat positif dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat positif yg berurutan. Misalnya kata ‘nomor 3′ menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, …, dan seterusnya. Jadi kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian ‘urutan’.
Dalam bahasa Inggris arti kata ‘angka’ lebih mendekati arti kata ‘digit’. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari ‘digit’. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata ‘digit’, lebih baik pengertian angka dibakukan dengan batasan agar hanya ada sepuluh angka yang berbeda: 0, 1, 2 …, 9.
Untuk memperjelas pengertian angka seperti diuraikan dalam paragraf terakhir, berikut diberikan dua contoh penggunaannya.
“Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0.”,
“Inflasi di Indonesia mencapai 3 angka (three digits)” (Maksudnya, inflasi di Indonesia sudah mencapai paling sedikit 100%, sebab bilangan 100 adalah bilangan dengan nilai terendah yang bisa ditulis dengan tiga angka).
3. Peranan bilangan.
Ada 3 (tiga) peranan bilangan pada pemakaian atau implementasi dalam kehidupan sehari-hari, yaitu :
a. Bilangan memiliki pengertian nominal.
Artinya bukan menyatakan banyaknya sesuatu sehingga tidak dapat dijumlahkan atau dioperasikan. Contoh : nomor rumah, nomor polisi mobil/motor, dan sebagainya. Kalaupun akan dijumlahkan boleh-boleh saja, tetapi tak punya makna apa-apa.
b. Bilangan memiliki pengertian kardinal.
Artinya menyatakan banyaknya suatu objek ( banyaknya anggota ), sehingga dapat dioperasikan.
Contoh : A memiliki 5 ekor sapi dan B memiiki 7 sapi. Dengan demikian A dan B memilik 12 ekor sapi.
c. Bilangan memiliki pengertian ordinal.
Artinya menyatakan urutan, sehingga tidak dapat dioperasikan. Contoh : Anak ke-5 dari 7 bersaudara. Kalaupun Anak ke-5 dan Anak ke-6 dapat dijumlahkan, tetapi tidak mempunyai makna apa-apa.
4. Jenis bilangan-bilangan sederhana
Ada berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, … dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, …, keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmatika. Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang Z dan sedangkan himpunan semua bilangan asli biasanya dinyatakan dengan lambang N.
Setiap bentuk rasio p/q antara dua bilangan bulat p dan bilangan bulat tak nol q disebut bilangan rasional atau pecahan. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan Q.
5. Konsep Hingga Terhitung dan Tak Terhitung
Unsur-unsur ketiga himpunan N, Z dan Q di atas masih bisa ‘diurutkan’ (enumerated) tanpa ada satu pun yg tersisa atau tercecer. Himpunan berukuran tak hingga yang bisa diurutkan ini disebut himpunan terhitung (Inggris: countable atau denumerable).
Himpunan semua bilangan alami (real numbers), yaitu semua bilangan rasional digabung dengan semua bilangan tak rasional (atau irasional), dinyatakan dengan lambang R. Himpunan ini selain berukuran tak hingga, juga himpunan tak terhitung sebab bisa dibuktikan secara matematis, setiap usaha untuk mengurutkannya selalu gagal, karena menyisakan bilangan alami.
Fakta ini menjadi titik awal untuk membedakan dua konsep tak hingga dalam matematika: tak hingga terhitung dan tak hingga tak terhitung.
Untuk contoh bagaimana matematikawan mendefinisikan bilangan melalui berbagai aksioma, lihat struktur abstrak, bilangan asli atau universal.
Konsep bilangan-bilangan yang lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman matematis dan logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, di awali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
II. ALJABAR
1. Pengertian Aljabar
Aljabar (dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.
Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui, dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buah buku dan kemudian Budi mempunyai 3 buah buku lebih banyak daripada Andi, maka dalam aljabar, bila y menyatakan banyaknya buku Budi, dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan aljabar, Anda dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.
Aljabar dapat dipilah menjadi kategori berikut:
• Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai “pengganti” untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.
• Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.
• Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasuk matriks).
• Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.
• Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis
Konsep aljabar, disadari atau tanpa disadari sebenarnya telah diajarkan sejak usia dini di TK, Play Group atau PAUD. Misalnya saat belajar sambil bermain/bernyanyi dengan diiringi ketukan di meja, kursi atau benda lain. Dengan memperhatikan urutan perulangan ketukan maka guru dapat menjelaskan konsep aljabar secara sederhana pada anak sesuai tingkat daya nalarnya.
Sedang konsep aljabar untuk anak seusia SD kelas V atau VI dapat pula diberikan contoh ilustrasi di kelas Matematika sebagai berikut :
”Bayangkan sebuah angka antara 1 sampai dengan 10,” perintah ibu guru
”Sudah!” jawab anak-anak setelah beberapa detik
Angka itu adalah sebagai kakak. Sekarang tentukan adiknya.”
”Apa itu adiknya?”
”Adiknya ya yang lebih kecil dari yang tadi!”
”Maksud loe…?”
”Ha..ha…ha…”
Tertawa riang mereka: antara ibu guru dan anak-anak. Permainan berhenti sejenak. Ibu guru memperkenalkan konsep adik dan kakak.
”Jika kamu memilih angka 5 sebagai kakak maka adiknya adalah 4. Karena 5 – 1 = 4. Mengerti, Anak-anak?”
”Mengerti, Bu….! He…he…he…”
”Kita ulangi permainannya. Bayangkan sebuah angka antara 1 sampai 10.”
”Sudah!” jawab anak-anak sambil berbisik-bisik antara mereka.
”Angka itu adalah kakak. Sekarang bayangkan adiknya!”
”Sudah!”
”Kakaknya kalikan dengan kakaknya!”
”Sudah!”
”Adiknya kalikan dengan adiknya!”
”Sudah!”
”Kurangkan hasil kakak kali kakak dengan adik kali adik!”
…. …. ….
Agak lama anak-anak berpikir. Tampak mereka berbisik-bisik. Mungkin mereka agak ragu-ragu dengan jawaban mereka. Mereka sambil buat coretan-coretan di tangan. Maklum di antara anak-anak itu, yang paling tua baru berusia 7 tahun.
”Hmm…lima belas!” kata salah satu dari mereka.
”Berarti… kakaknya adalah 8 dan adiknya adalah 7,” tebak ibunya.
”Kok tahu sih…?!” bisik anak-anak
Dari sinilah anak akan paham konsep aljabar dengan sendirinya, tentunya dengan bimbingan ibu guru.
2. Standar Isi tentang Aljabar menurut NCTM adalah sebagai berikut :
1. Siswa memahami pola-pola, hubungan, dan fungsi-fungsi yang menyusun pola-pola tersebut.
Contoh : Terdapat pola bilangan : 1, 3, 5, 7, 9, ... ,maka siswa dapat menentukan hubungan antar bilangan tersebut untuk menentukan fungsinya. Yaitu memiliki beda 2 dan bilangan ke-n = 2n-1. Dsb.
2. Siswa dapat menyajikan dan menganalisa situasi matematika dan struktur, dengan menggunakan simbol-simbol aljabar.
Contoh : Memformulasikan persoalan sehari-hari ke dalam kalimat matematika dengan menggunakan variabel dan parameter.
3. Siswa dapat menggunakan model-model matematika untuk dipresentasikan serta pemahaman hubungannya secara kuantitatif.
Contoh : Menyelesaikan/mencari solusi dari model matematika dan mencari hubungannya.
4. Siswa dapat menganalisa perubahan dalam konteks yang bermacam-macam.
Contoh : Sistem persamaan linear dengan sifat-sifatnya.
3. Pengertian Variabel atau Peubah.
Variabel berasal dari bahasa Inggris yaitu variable yang dalam bahasa Indonesia diartikan sebagai ’peubah’(bukan perubah). Peubah dalam konteks Matematika harus bermakna suatu nilai, angka, atau bilangan. Misalnya : x menyatakan banyaknya sebuah buku, jadi 2x menyatakan 2 buah buku. Jadi di sini x artinya bukan pengganti buku ( konsep yang salah ), tetapi x menyatakan kardinalitas dari benda yang bernama buku.
Ada 2 (dua) peranan penting penggunaan ’peubah’, yaitu :
1. Peubah berperan untuk menyatakan sesuatu yang belum diketahui.
Contoh : x + 5 = 9 dengan x anggota himpunan bilangan asli, maka x di sini perperan sebagai peubah, yaitu sesuatu yang belum diketahui.
2. Peubah berperan untuk menyatakan sesuatu yang berubah-ubah.
Contoh : a – b = 10 dengan a dan b masing-masing anggota himpunan bilangan bulat, di sini a dan b berperan sebagai peubah, yaitu sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah.
4. Aljabar Elementer
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y dsb.). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, beralih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel (peubah) yang tidak diketahui. Contoh : Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10. Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut. Contoh : Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x - 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar